• صاحب المنشور: عبدالناصر البصري
  
  ملخص النقاش:
  التكامل الجزئي والتحليل التكاملي هما أداتان أساسيتان في مجال الرياضيات، ولكل منهما دور فريد ومهم في حل العديد من المشكلات المعقدة. يرتكز هذان الأسلوبان على فهم عميق لمفاهيم الدوال التفاضلية والمشتقات والتكاملات. سنستعرض هنا كيفية عمل كل منهما وأهم تطبيقاتهما.

**التكامل الجزئي**

يعد التكامل الجزئي أحد التقنيات المستخدمة لحساب تكامل ضرب دالتين أو أكثر. يتم استخدام هذه الطريقة عندما يوجد مشتق إحدى الدوال مضروباً بمُكملها. الصيغة العامة للتكامل الجزئي هي كما يلي:

```html

∫ u dv = uv - ∫ v du

```

حيث "u" و"v" هما دوال قابلة للتفاضل. لإيجاد هذا النوع من التكاملات، نقوم بتحديد جزء واحد كنسبة إلى الجزء الآخر بناءً على ترتيب العمليات الحسابية inverted partial derivatives order). بعد ذلك، نطبق قاعدة المنتج العكسية لتحويل حاصل الضرب إلى مجموع مكاملة وتفاضل بسيطتين يمكن حسابهن بشكل مستقل عن بعضهما البعض.

**التحليل التكاملي**

من ناحية أخرى، يتعلق التحليل التكاملي بفهم خصائص وظائف غير واضحة تحسباً لتقييم التكامل تحت تلك الوظيفة. تتضمن العملية عادة تحديد مساحة منطقة محددة ضمن مستوى الإحداثيات باستخدام قيمة معينة كحد أعلى وحد أدنى للمتغير. قد يشمل ذلك تقسيم المنطقة إلى قطع أصغر مؤقتًا ثم جمع المساحات الفردية للحصول على نتيجة كاملة.

تعمل هذه التقنية عبر وضع افتراضات حول الشكل العام للدالة المنشودة قبل البدء بعملية الحل. إن المرونة التي توفرها طرق التعريف المختلفة مثل التعريف القياسي, تعريفي رياضياًّ ، واستخدام حواجز اختيار مناسب ستمكن المحللَ من الحصول على نتائج دقيقة بغض النظر عن طبيعة المشكلة المطروحة أمامه.

**بعض الأمثلة الواقعية لاستخداماتهما**:

التكامل الجزئي*: حلولٌ مفصلة لمعادلات تفاضلية ذات شروط حدودية معينة كالطرف الثالث حيث تكون درجة الحد الأعلى تساوي ثلاثة بينما تمثل بقيتها درجات أقل منها؛ إضافة لدراسة الاتجاهات المتغيرة (vector fields) وتمثيل مجالات القوى الكهربية وغيرها الكثير!

التحليل التكاملي*: تقديرات احتمالية اللقاء بين جزيئين داخل الخلايا البيولوجية; دراسات تأثير تشوهات سطح الأرض فيما يتعلق بأنظمة الري الحديث; حتى وإن كان الأمر متعلقا بالإحصاء الكمي لأعداد الحيوانات البرية اعتمادًا على نموذج احتمال الاستيطان بالسكن مما يؤثر بصورة مباشرة علي سياسة إدارة الغابات المستدامة والحفاظ عليها وعلى الأنواع النباتية والفطرية المرتبط بهم أيضا...

هذه مجرد عينات قليلة مما تستطيع القيام به هذه الآليات الرائعة بكل بساطتها المذهلة والتي تعتبر أعمدة أساسية لبناء فرع كامل من علم الرياضيات وبالتالي تطبيق واسع النطاق خارج متناول تخصصاتها الأصيلة أيضًا!