في مجال الرياضيات، تلعب المعادلات التربيعية دورًا حيويًا في العديد من التطبيقات العملية. يتم تمثيل هذه المعادلات بالصيغة العامة Ax² + Bx + C = 0، حيث A و B و C ثوابت رياضية معروفة. بالنسبة لهذه الأنواع من المعادلات، هناك طريقتان رئيسيتان للحصول على الجذور أو الحلول: القانون العام والمعرف بالمميّز.

القانون العام

يعد القانون العام إحدى الأدوات الأساسية المستخدمة لتحديد مواقع جذور المعادلات التربيعية. تُكتب صيغة القانون العام كالتالي:

x = [-B ± √(B² - 4AC)] / (2A)

يمكن اعتبار x هنا كمجهول نهدف للعثور عليه بعد استبدال القيم المناسبة لقيم A, B ,C .

المميز (Discriminant)

المميز هو جزء مهم من عملية تحديد نوع الجذور التي تمتلكها معاملتنا التربيعية. يُحسب كالآتي: D = B² - 4AC. يمنحنا هذا الرقم دلالة حول طبيعة جذور المعادلة:

* إذا كانت قيمة المميز موجبة (> 0)، فهذا يعني وجود زوجين من الجذور الحقيقية المختلفة.

* عندما تساوي القيمة صفرًا (= 0)، يشير ذلك إلى وجود جذر حقيقي مزدوج (أي نفس القيمة مرتين).

* بينما لو كانت سالبة (< 0)، لن تكون للمعاملات التربيعية أي جذور حقيقية؛ ستكون كلتا الجذرتان مختلفتين ومتعارضتين تماماً مما يحول بينهما حاجز خيالي.

فوائد واستخدامات القانون والمميز

توفر هذين الأداة القدرة على التعامل مع مجموعة واسعة من أشكال المعادلات التربيعية بكفاءة عالية. فهي توفر نهج ثابت ومباشر يمكن تطبيقه بغض النظر عن تعقيد الحدود الخاصة بالمشكلة المقترحة لك.

أمثلة توضيحية للاستخدام العملي

لنستعرض مثال عملي لتوضيح كيفية عمل هاتان التقنيتان سوياً. تخيلوا معنا المثال التالي: 4x² - 24x + 35 = 0. بدايةً، نقوم بحساب المميز وفق الصيغة (+/-): D = (-24)^2 - 4(4)(35) = 576 - 560 = 16√ > 0 وهذا يؤكد لنا بأن لدينا اثنين من الجذور الحقيقية الفريدة. الآن نطبق قانون حل المعادلات التربيعية:

x=(±sqrt(((-24)^2)-((4)(35)))/((2)(4))) => x=(-(-24)+/-(sqrt((576)-(560))))/(8) وبذلك نحصل على النتيجة النهائية وهي : x=14/4 or x=10/3 ; اي ان القيمة الاولى تساوي 7/2 والثانية تساوي ٥/٢ لكل واحدة منهما تعتبر جزراً فرديًا خاص بمكافئتها المعروف باسم "الجزر".