معادلات التفاضلية غير المتجانسة من الدرجة الأولى تعتبر نوعاً أساسياً من المعادلات الرياضية التي تتضمن مشتقة أولى واحدة فقط لمُتغيرة y بالنسبة إلى المُتغيرة x. يمكن كتابتها بصورة عامة كالتالي:

dy/dx + P(x)y = Q(x)، حيث P(x) وQ(x) هما وظائف للدالة x.

لحل هذا النوع من المعادلات، نستخدم عادةً أحد الطريقتين الرئيسيتين: العامل المُكمِّل ومبدأ ثابت التغيير.

\u2022 العامل المُكمِّل: تستخدم هذه الطريقة عندما تكون المعادلة مكتوبة بالفعل بالشكل العام. هنا، نقوم بحساب "العامل المُكمِّل" K(x) كما يلي: K(x) = e^[∫P(x) dx]. ثم يتم ضرب طرفي المعادلة بهذا العامل للحصول على الشكل التالي: d[K(x)y]/dx = K(x)Q(x). بعد ذلك، تكامل الجانبين يعطي الحل العام: y = [∫K(x)Q(x) dx]/K(x) + C، حيث C هو ثابت التكامل.

على سبيل المثال، لنفترض لدينا المعادلة dy/dx - y - xe^x = 0. بإعادة ترتيب المصطلحات، نكتشف أن P(x) = -1 وQ(x) = xe^x. وبالتالي، فإن عاملنا المُكمّل سيكون K(x) = e^(-∫1 dx) = e^(-x). الآن، حل المعادلة يصبح: y = [∫e^(-x)xe^x dx]/(e^(-x)) + C. بالتقييم والتبسيط، نحصل على الحل النهائي: y = x^2/2 * e^x + Ce^x.

\u2022 ثابت التغيير: هذه الطريقة تكون أكثر فائدة إذا كانت لديك معرفة مسبقة بحلول المعادلات المتجانسة ذات نفس البنية ولكن بدون الجزء Q(x). الخطوات الرئيسية تشمل إعادة كتابة المعادلة كمُعادلة متجانسة، وحَل تلك المُعادلة لاستنتاج تعبير عام لها. يُستبدل الثابت التعسفي ج في هذا التعبير بمُتغير جديد U(x)، مما يؤدي إلى تمثيل الدالة العامة للمعادلة غير المتجانسة. أخيراً، تُطبَّق شروط الحدود لتحديد القيمة الخاصة لـ U(x).

لتوضيح الأمر، دعونا ننظر إلى مثال: dy/dx = y/x + 2x^3. أولاً، نحولها إلى مُعادلة متجانسة: dy/dx - y/x = 0. حلها يعطينا y = Cx. ثانياً، نستبدل ج بU(x): y = U(x)x. اشتقتها وتكوين نظام مع المعادلة الأصلية سيؤديان إلى U'(x)x + U(x) = 2x^3. بواسطة الاستقلال والتبسيط، سنحصل على U'(x) = 2x^2 وأخيراً U(x) = (2/3)x^3 + D (D ثابت). بذلك، يصبح الحل النهائي: y = [(2/3)x^4 + Dx]x.

باتباع واحدٍ من هذين النهجين وفق ظروف المشكلة المحددة لك، ستتمكن من الحصول على حل دقيق لهذه الأنواع من المسائل الهندسية والمعمارية المختلفة والتي تحتاج لقواعد حساب التفاضل والتكامل الأساسية لفهمها والحلول المناسبة لها.